quinta-feira, 8 de dezembro de 2011

História da Matemática

Primórdios da Matemática


Os matemáticos do século vinte desempenham uma atividade intelectual de difícil definição, mas complexa sofisticação. Contudo, boa parte do que hoje se chama matemática deriva de ideias que originalmente centravam-se nos conceitos de número, grandeza e forma.
Durante um relevante período, considerou-se que a matemática se ocupava do mundo que nossos sentidos percebiam. No entanto, a partir do século dezenove, a matemática pura se libertou das limitações sugeridas por observações da natureza.
É possível perceber que tais indicativos, a partir de suas diferenças, parecem apontar semelhanças: o contraste entre um lobo e muitos, entre um carneiro e um rebanho, entre uma árvore e uma floresta, sugere que um lobo, um carneiro e uma árvore têm algo em comum – sua unicidade. Assim, também, as mãos podem ser relacionadas com os pés, com os olhos, com as orelhas ou com as narinas. Essa percepção de uma propriedade abstrata que certos elementos têm em comum - e que nós chamamos número - representa um grande passo no caminho para a matemática moderna. Ao analisarmos a história evolutiva dessa disciplina, parece-nos improvável que tal noção tenha sido uma descoberta de um indivíduo ou de uma dada tribo, já que é mais plausível que a percepção tenha sido gradual, surgida tão cedo no desenvolvimento cultural do homem quanto o uso do fogo, talvez há 300.000 anos.
Usando os dedos das mãos, podemos contar grupos de até cinco elementos. Quando os dedos eram insuficientes, montes de pedras eram usados para representar essa correspondência. Desta forma, o homem se valia desse procedimento como um método de correspondência, reunindo as pedras em grupos de cinco, pois os quíntuplos lhe eram familiares por observação da natureza (mãos e pés). Assim, a base cinco foi uma das que deixaram a mais antiga evidência escrita palpável, ainda que as línguas modernas sejam construídas, quase sem exceção, em torno da base dez. Observa-se, pois, que a ideia do número tornou-se suficientemente ampla e vivida, para que se sentisse a necessidade de se exprimir essa propriedade de algum modo. Dessa expressão, vem o princípio da linguagem: é ela que representa a característica mais acentuada de diferenciação do homem para os outros animais. Mesmo que exista um conjunto de elementos envolvidos na distinção do homem com relação a outras espécies, acredita-se que a linguagem foi o principal fator de promoção de seu desenvolvimento. Tal mecanismo foi essencial para que surgisse o pensamento matemático abstrato. Com a linguagem, há um desenvolvimento do concreto para o abstrato, mas foram necessários milhares de anos para que o homem fizesse a distinção entre os conceitos abstratos e as situações concretas.
Supõe-se que o surgimento da matemática vem em resposta a necessidades práticas, mas estudos antropológicos sugerem a possibilidade de outra origem. Entre alguns estudos relevantes, encontra-se a sugestão de que a arte de contar surgiu em conexão com rituais religiosos primitivos e que o aspecto ordinal precedeu o conceito quantitativo. Percebe-se ainda que o conceito de número inteiro se perde na névoa da antiguidade pré-histórica. Entre as tribos primitivas, parece não ter havido necessidade de usar frações.
Se a história do surgimento dos números nos parece imprecisa, a aplicação deles na geometria também o é: Heródoto dizia que geometria se originava no Egito, pois acreditava que tinha surgido da necessidade prática de fazer novas medidas de terras após cada inundação anual no vale do rio Nilo Já Aristóteles achava que a existência no Egito de uma classe sacerdotal com lazeres é que tinha conduzido ao estudo da geometria.
Não podemos contradizer, com segurança, nem Heródoto nem Aristóteles quanto à motivação que produziu a geometria, mas é claro que ambos subestimaram a idade do assunto. O homem neolítico pode ter tido pouco lazer e pouca necessidade de medir terras, porém seus desenhos e figuras sugerem uma preocupação com relações espaciais que abriu caminho para a geometria. Seus potes, tecidos e cestas mostram exemplos de congruência e simetria que em essência são partes da geometria elementar.

História da Matemática

Egito


A Idade da Pedra - um longo período que precede o uso de metais - não teve um fim abrupto. O período de transição que daí sucede é o ambiente de surgimento das civilizações caracterizadas pelo uso de metais. Esses povos se situaram primeiro em vales de rios, como os do Egito, Mesopotâmia, Índia e China.
Da Mesopotâmia, onde o barro era abundante, marcas em forma de cunhas eram feitas com um estilete sobre tabletes moles que depois eram cozidas (cuneiforme cerca de 4.000 anos).
A notação hieroglífica, escritos egípcios, foi decifrada pela descoberta de uma expedição de Napoleão, por volta de 1.799. A partir de uma grande peça achada em Rosetta, antigo porto de Alexandrina, descobriu-se uma mensagem que continha três escritas: grega, demótica e hieroglífica. Como conheciam o idioma grego, fizeram rápido progresso na decifração dos hieróglifos egípcios.
Os egípcios começaram cedo a se interessar pela astronomia e observaram que as inundações do Nilo eram separadas por 365 dias (estrela Sirius se levantava a leste logo antes do sol).Desta observação, surge, pois, o calendário solar. Nele, são estabelecidos 12 meses de 30 dias e mais cinco dias de festas.
No que diz respeito às operações matemáticas, pode-se afirmar que a operação aritmética fundamental no Egito era a adição. Já, nossas operações de multiplicação e divisão eram efetuadas no tempo de Ahmes (Papiro de Ahmes) por duplações sucessivas.
A solução de problemas algébricos de Ahmes não é a de livros modernos. Este tipo de resolução apresenta como característica um processo conhecido como “método de falsa posição” em que a incógnita é chamada de “aha”.

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Mesopotâmia

          

As civilizações antigas da Mesopotâmia são frequentemente chamadas babilônicas. Contudo, é importante definirmos que a cidade de Babilônia não foi o princípio, como também não foi nem foi, em períodos posteriores, o centro da cultura associada com os dois rios (2000 anos até aproximados 600 a.C.).
Há uma abundância de material relativo à matemática na Mesopotâmia. Tais registros viabilizaram que a eficácia da computação tenha sido resultado não somente de seu sistema de numeração mas que os matemáticos mesopotâmios também tenham sido hábeis no desenvolver processos algoritmos.
Seu sistema era basicamente sexagesimal, mais provável, porém que a base sessenta fosse adotada conscientemente e legalizada no interesse da metrologia. Uma grandeza de sessenta unidades pode ser facilmente subdividida em metades, terços, quartos, quintos, sextos, décimos, doze avos, vigésimos e trigésimos, fornecendo assim dez possíveis subdivisões.
São evidentes muitas deficiências da matemática pré-helênica. Os papiros e tabletas encontrados contêm apenas casos específicos e problemas, sem formulações gerais. Um estudo posterior é um pouco confortante, pois as centenas de problemas de tipos semelhantes em tabletas cuneiformes parecem ser exercícios que os escolares deviam resolver de acordo com certos métodos ou regras aceitas.
Naturalmente muito da matemática pré-helênica era prática, mas certamente nem toda. Na resolução de cálculos, que se estendeu por um par de milênios, as escolas de escribas usaram muito material de exercícios, frequentemente, talvez, como puro divertimento.

História da Matemática

A Jônia e os Pitagóricos

 Escolas Jônias
     Pitágoras

A atividade intelectual das civilizações potâmicas no Egito e Mesopotâmia tinha perdido sua verve bem antes da era cristã; mas quando a cultura nos vales dos rios estava declinando e o bronze cedendo lugar ao ferro na fabricação de armas, vigorosas culturas novas estavam surgindo ao longo de todo o litoral do Mediterrâneo. Para indicar essa mudança nos centros de civilização, o intervalo entre aproximadamente 800 a.C. e 800 D.C. é às vezes chamado Idade Talássica (isto é, a “idade do mar”). Não houve, é claro, uma quebra brusca marcando a transição da liderança intelectual dos vales dos rios Nilo, Tigre e Eufrates para a beira do Mediterrâneo, pois o tempo e a história fluem continuamente, e as condições em variação são associadas a causas antecedentes. Os estudiosos egípcios e babilônios continuaram a produzir textos em papiro e cuneiforme durante muitos séculos após 800 a.C. Enquanto isso, no entanto, uma nova civilização se preparava rapidamente para assumir a hegemonia cultural, não só na região mediterrânea mas, finalmente, também nos principais vales fluviais. Para indicar a fonte da nova inspiração, a primeira parte da Idade Talássica é chamada Era Helênica e consequentemente as culturas mais antigas são ditas pré-helênicas.
 Os primeiros Jogos Olímpicos se realizaram em 776 a.C. Este período marca a presença de uma maravilhosa literatura grega, evidenciada pelas obras de Homero e Hesíodo. Contudo, da matemática grega da época nada sabemos. Também Tales e Pitágoras são figuras imprecisas historicamente. Mas o que fizeram deve ser reconstruído com base numa tradição, não muito digna de confiança, que se formou em torno desses dois matemáticos antigos. Certas frases-chave lhes são atribuídas, tais como “Conhece a ti mesmo” no caso de Tales e “Tudo é número”, de Pitágoras, mas nada mais específico.
O que se sabe de Tales de Mileto é muito pouco. Seu nascimento e sua morte são datados com base no fato de que o eclipse de 585 a.C. provavelmente ocorreu quando estava em plena maturidade (40 anos), mas sérias dúvidas sobre a autenticidade da história do eclipse abalam nossa confiança, quanto às descobertas atribuídas a Tales.
Tales era considerado um homem de rara inteligência (o primeiro dos Sete Sábios), era considerado um “discípulo dos egípcios e caldeus” e frequentemente saudado com o primeiro matemático verdadeiro – originador da organização dedutiva da geometria.
Pitágoras de Gamos é uma figura pouco menos discutida que Tales. Pitágoras era um profeta e um místico, nascido em Gamos, não longe de Mileto. Durante suas peregrinações ele evidentemente absorveu não só informação matemática e astronômica como também muitas ideias religiosas. Pitágoras, aliás, praticamente foi.

História da Matemática

Euclides de Alexandria


            A morte de Alexandre, o Grande, levou a disputas entres os generais do exército grego. Em em 306 a.C. o controle da parte egípcia do império estava nas mãos de Ptolomeu I, e esse governante pôde voltar à atenção para esforços construtivos. Entre seus primeiros atos está a criação em Alexandria de uma escola ou instituto conhecido como Museu, um grande marco de seu tempo. Como professores, ele chamou um grupo de sábios de primeira linha, entre eles Euclides, o autor do texto de matemática mais bem-sucedido de todos os tempos – Os elementos (Stoichia).
 Os elementos estão divididos em treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria elementar. Já os três seguintes tratam sobre a teoria dos números; o Livro X é sobre os incomensuráveis e os três últimos versam principalmente sobre geometria no espaço. Eles não só constituem a mais antiga e importante obra matemática grega a chegar até nós, mas o texto mais influente de todos os tempos. Composto em 300 a.C. aproximadamente e copiado muitas vezes depois. Cópias de Os elementos chegaram até nós também em traduções árabes, mais tarde traduzidas para o latim no século doze, e finalmente, no século dezesseis, em vernáculo. A primeira versão impressa de Os elementos apareceu em Veneza, em 1482, um dos primeiros livros de matemática impressos. Calcula-se, pois, que desde então pelo menos mil edições foram publicadas. Talvez nenhum livro, além da Bíblia, possua tantas edições, e certamente nenhuma obra matemática teve influência comparável à de Os elementos de Euclides.

História da Matemática

Arquimedes de Siracusa


            Durante toda a Idade Helenística, o centro da atividade matemática permaneceu em Alexandria, mas o maior matemático desse tempo – e toda antiguidade – não nasceu nessa cidade. É possível que Arquimedes tenha estudado por algum tempo em Alexandria com os estudantes de Euclides, e manteve comunicação com os matemáticos de lá, mas viveu e morreu em Siracusa. Durante a Segunda Guerra Púnica, a cidade de Siracusa se viu envolvida na luta entre Roma e Cartago. Tendo-se associado a essa última, a cidade foi sitiada pelos romanos durante os anos de 214 a.C. a 212 a.C.
Durante o cerco, Arquimedes inventou engenhosas máquinas de guerra para conservar o inimigo à distância: catapultas para lançar pedras; cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar os navios. Por fim, no entanto, Siracusa caiu. Durante o saque da cidade Arquimedes foi morto por um soldado romano, apesar das ordens para que o geômetra fosse poupado.

História da Matemática

China e Índia


            As civilizações da China a da Índia são muito mais antigas que as da Grécia e Roma, porém não mais que as dos vales do Nilo e Mesopotâmia. Remontam à Idade Potâmica, enquanto que as culturas da Grécia e de Roma eram da Idade Talássica.
Algumas afirmações quanto a terem os chineses feito observações astronômicas importantes, ou descrito os doze signos de zodíaco, pelo décimo quinto milênio a.C. são certamente infundadas. Contudo, a tradição coloca o primeiro império chinês em 2750 a.C. aproximadamente. Outras avaliações mais modestas colocam essas civilizações primitivas por volta do ano 100 a.C. Datar os documentos matemáticos da China não é fácil, e estimativas quanto ao Chou Pei Suang Ching, geralmente considerado o mais antigo dos clássicos matemáticos, diferem por quase mil anos. O problema de sua data é dificultado pelo fato de poder ser obra de vários homens em períodos diferentes. Alguns consideram o Chou Pei como uma boa exposição da matemática chinesa de cerca de 1200 a.C., mas outros colocam a obra no primeiro século de nossa era. Uma data de 300 a.C. parece razoável, o que colocaria a obra em competição com outro tratado, o Chiu Chang Suan-Shu, composto por volta de 250 a.C. O Chou Pei indica que na China, como Heródoto dizia do Egito, a geometria derivou da mensuração e, como na Babilônia, a geometria chinesa era essencialmente um exercício de aritmética ou álgebra. Há, aparentemente, indicações no Chou Pei do Teorema de Pitágoras, um teorema que os chineses tratavam algebricamente.
Nas obras chinesas, como nas egípcias, chama à atenção a justaposição de resultados precisos e imprecisos, primitivos e elaborados. São usadas regras corretas para as áreas de triângulos e trapézios. A área do círculo era calculada tomando três quartos do quadrado sobre o diâmetro ou um doze avos do quadrado da circunferência. Os chineses gostavam especialmente de diagramas, por isso não é surpreendente que o primeiro registro (de origem antiga mas desconhecida) de um quadrado mágico tenha aparecido lá. O quadrado foi supostamente trazido para os homens por uma tartaruga do Rio Lo nos dias do lendário Imperador Yii, considerado um engenheiro hidráulico.
Se a matemática chinesa tivesse tido continuidade de tradição, algumas das notáveis antecipações dos métodos modernos poderiam ter modificado substancialmente o desenvolvimento da matemática. Mas a cultura chinesa foi seriamente prejudicada por quebras abruptas. Em 213 a.C., como, por exemplo, o imperador da China mandou queimar todos os livros de matemática. Algumas obras evidentemente escaparam, seja pela persistência de cópias, seja por transmissão oral e o aprendizado de fato continuou com ênfase, quanto à matemática, em problemas de comércio e calendário.
A queda do Império Romano do Ocidente tradicionalmente é situada no ano 476. Nesse ano, nasce Aryabhata, autor de um dos mais antigos textos matemáticos indianos. É claro, entretanto, que tinha havido atividade matemática na Índia muito antes disso – provavelmente antes mesmo da mística fundação de Roma em 753 a.C. A Índia, como o Egito, tinha seus “estiradores de corda”, e as primitivas noções geométricas adquiridas em conexão com o traçado de templos e medida e construção de altares tomaram a forma de um corpo de conhecimentos conhecidos como os Sulvasutras ou “regras de corda”. Sulva (ou sulba) refere-se às cordas usadas para medidas, e sutra significa um livro de regras ou aforismos relativos a um ritual ou ciência. Mas a dificuldade em datar as regras se liga ainda a dúvidas quanto à influência que tiveram sobre matemáticos hindus posteriores. Mais ainda do que na China há uma notável falta de continuidade na tradição matemática na Índia: contribuições significativas são acontecimentos isolados separados por intervalos sem realizações.